TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

     

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Để tính được tổng hàng số lũy thừa gồm quy luật thì cần phải tất cả phương pháp giải. Đó là các phương pháp:

1. Phương pháp quy nạp

*
*

2. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng hàng số

*
*

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

Với những dạng toán dưới đây, các em dùng phương pháp tính nêu ở bên trên để áp dụng vào giải.

Bạn đang xem: Tính tổng dãy số lũy thừa

1. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100(*)

Hướng dẫn:

Cách 1:Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100– 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101– 1

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101(**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101– 1.

Tổng quát đến dạng toán này như sau:

$S_n=1+a+a^2+ldots+a^n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: $S_n=dfraca^n+1-1a-1$

Ví dụ 2:Tính:

S =1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100

Hướng dẫn:

Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22– 23 + 24–. . . – 299 + 2100)

⇔2S = 2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101

⇔2S S = (2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S =2101 + 1.

⇔ $S=dfrac2^101+13$

Tổng quát mang lại dạng toán này như sau:

$S_n=1-a+a^2-a^3+ldots-a^2 n-1+a^2 n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $S_n=fraca^2 n+1+1a+1$

Ví dụ 3:Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100(*)

Hướng dẫn:

– Với câu hỏi này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số như thế nào đó nhưng mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị phải ta nhân nhì vế với 32rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Xem thêm: Sơn Mặt Tiền Nhà Ống Màu Xanh Đẹp Và Hiện Đại 2021, 99+ Mẫu Sơn Nhà Ống Đẹp 2022 Cho Mặt Tiền

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) mang lại (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102– 1

⇔ $S=dfrac3^102-18$

• Tổng quát mang lại dạng toán này như sau:

$S_n=1+a^d+a^2 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$S_n=dfraca^(n+1) d-1a^d-1$

Ví dụ 4:Tính:

S = 1 – 23 + 26– 29 . . . +296– 299(*)

Hướng dẫn:

– Lũy thừa những số liên tiếp phương pháp nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23ta được:

23.S = 23.(1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299)

⇒ 8S = 23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102(**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102) (1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 ⇔ $S=dfrac1-2^1029$

Tổng quát mang lại dạng toán này như sau:

$S_n=1-a^d+a^2 d-a^3 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

$S_n=dfrac1-a^(n+1) da^d+1$

2. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của hàng số biện pháp đều

Để đếm được số hạng của 1 dãy số nhưng mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Số số hạng = <(số cuối – số đầu) : (khoảng cách)> + 1

Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp biện pháp đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = <(số đầu + số cuối) . (số số hạng)> : 2

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400.

Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (59-2):3+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610.

Xem thêm: Mẫu Sổ Kiểm Tra Vệ Sinh Các Lớp, Mẫu Sổ Theo Dõi Công Tác Vệ Sinh Môi Trường

3. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

Ký hiệu: $sum_i=1^n a_i=a_1+a_2+ldots+a_n$

Tính chất:

$sum_i=1^nleft(a_i+b_i ight)=sum_i=1^n a_i+sum_i=1^n b_i$

$sum_i=1^n a cdot a_i=a sum_i=1^n a_i$

Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

Hướng dẫn:

Ta có: $S_n=sum_i=1^n i(i+1)=sum_i=1^nleft(i^2+i ight)=sum_i=1^n i^2+sum_i=1^n i$

Mặt khác, lại có:

$sum_i=1^n i=1+2+3+ldots+n=fracn(n+1)2$(theo PP quy nạp ở mục I).

$sum_i=1^n i^2=dfracn(n+1)(n+2)6$ (theo PP quy nạp ở mục I)

⇒ $S_n=dfracn(n+2)2+dfracn(n+1)(n+2)6=dfracn(n+1)(n+2)3$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài 2:Tính những tổng sau:

a)S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … + 95 +101

c)$S=dfrac11cdot 2+dfrac123+dfrac13cdot 4 ldots+dfrac149cdot 50$

d)$S=dfrac65cdot 7+dfrac679+dfrac69cdot 11+ldots+dfrac657cdot 59$

Bài 3:Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … + (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b)$dfrac12+dfrac14+dfrac18+ldots+dfrac12^0=1-dfrac120$