Ma trận tam giác trên

     
*

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ cùng với $M_ij$ là định thức nhận ra từ định thức của ma trận $A$ bằng cách bỏ đi mẫu $i$ với cột $j$ được điện thoại tư vấn là phần bù đại số của phần tử $a_ij.$

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính những phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.

Bạn đang xem: Ma trận tam giác trên

Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức triển khai Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là phương pháp khai triển định thức ma trận $A$ theo chiếc thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đây là bí quyết khai triển định thức ma trận $A$ theo cùng thứ $j.$

Các em đề xuất xem lại tính định thức cung cấp 2 và cung cấp 3 cùng các tính chất của định thức tại bài viết này:https://giangdien.com.vn/tin-tuc/dinh-thuc-cua-ma-tran-va-cac-tinh-chat-4783.html

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo phương pháp khai triển mẫu 1.

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong những số ấy

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý loại 3 của định thức tất cả 2 bộ phận bằng 0 cần khai triển theo loại này vẫn chỉ bao gồm hai số hạng

Video bài xích giảng Các phương thức tính định thức ma trận

Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 gồm 3 phần tử bằng 0 đề xuất khai triển theo cột 1 ta có

Ví dụ 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 có phần tử đầu tiên là 1, vậy ta sẽ thay đổi sơ cung cấp cho định thức theo cột 3

*

Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc loại 4 của ma trận $A.$

Giải. Thay các thành phần ở dòng 4 của ma trận A vì chưng $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ tất cả định thức bởi 0 vì gồm hai loại giống nhau và hai ma trận $A,B$ có những phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 như là nhau.

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các thành phần ở cái 4 của ma trận A lần lượt bởi $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 vì có hai chiếc giống nhau với hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 tương đương nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8:Cho cho ba véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ tìm kiếm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải.Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, bao gồm $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta buộc phải tìm một bộ số $(a,b,c,d)$ hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một cơ sở của $mathbbR^4$ hayhệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ chủ quyền tuyến tính hay $det (A) e 0.$ triển khai theo dòng 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ việc chọn $a=b=d=0,c e 0$ lúc ấy $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0$ là 1 véctơ phải tìm.

Ví dụ 9: Cho D là 1 trong định thức cung cấp n có toàn bộ các bộ phận của một loại thứ i bằng 1. Chứng minh rằng:

a) Tổng những phần bù đại số của các phần tử thuộc mỗi loại khác dòng thứ i đều bởi 0.

b) Định thức D bởi tổng phần bù đại số của toàn bộ các bộ phận của nó.

Xem lời giải tại đây:https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-la-mot-dinh-thuc-cap-co-tat-ca-cac-phan-tu-cua-mot-dong-thu-/8cb667f9-98ed-44f7-a495-0bc08d1fa756

Ví dụ 10:Cho ma trận vuông $A=(a_ij)_n imes n$ và $A_ij$ là phần bù đại số của thành phần $a_ij.$ chứng minh rằng:

i) $a_i1A_k1 + a_i2A_k2 + ... + a_inA_kn = left{ egingathered det (A),i = k hfill \ 0,i e k hfill \ endgathered ight.;$

ii) $a_1jA_1q + a_2jA_2q + ... + a_njA_nq = left{ egingathered det (A),j = q hfill \ 0,j e q hfill \ endgathered ight..$

Xem giải mã tại đây:https://askmath.vn/cau-hoi/cho-ma-tran-vuong-aaijntimes-n-va-aij-la-phan-bu-dai-so-cua-phan-tu-/fd47efcc-5325-42d0-a707-782d7bc91ef5

Ví dụ 11:Cho nhì ma trận trong những số đó $b_ij=a_ij+x,forall i,j=1,2,...,n.$ chứng tỏ rằng tổng những phần bù đại số của $det left( A ight)$ với $det left( B ight)$ bằng nhau.

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình con đường tính thuần nhất

Bài 4: mô hình Input - đầu ra của Leontief

Bài 5: quy mô cân bằng thị phần và cân bằng kinh tế tài chính vĩ mô

Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các thành phần nằm trên đường chéo chính

Thật vậy, so với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:

< = a_11a_22left| eginarray*20c a_33&a_34&...&a_3n \ 0&a_44&...&a_4n \ ...&...&...&... \ 0&0&...&a_nn endarray ight| = ... = a_11a_22...a_nn.>

đối cùng với ma trận tam giác dưới khai triển theo cái 1.

Ví dụ 1:$left| eginarray*20c 1&0&0&0 \ 0&0&2&0 \ 0&3&0&0 \ 0&0&0&4 endarray ight| = - left| eginarray*20c 1&0&0&0 \ 0&2&0&0 \ 0&0&3&0 \ 0&0&0&4 endarray ight| = - 1.2.3.4 = - 24left( mathbfdoi\_cho\_mathbfc_mathbf2mathbf& mathbfc_mathbf3 ight)$

Tính định thức dựa trên các đặc điểm định thức thông qua chuyển đổi sơ cấp, cách làm khai triển Laplace và chuyển đổi về ma trận tam giác

Câu hỏi luyện tập:

Rèn luyện tính định thức của ma trận trải qua các vấn đề định thức của ma trận vuông cấp cho 3, cấp 4 và cung cấp 5

Ví dụ 1:Tính định thức $left| eginarray*20c x - y - z&2x&2x\ 2y&y - z - x&2y\ 2z&2z&z - y - x endarray ight|.$

Giải.

<eginarrayl left| eginarray*20c x - y - z&2x&2x\ 2y&y - z - x&2y\ 2z&2z&z - y - x endarray ight| = left| eginarray*20c x + y + z&x + y + z&x + y + z\ 2y&y - z - x&2y\ 2z&2z&z - y - x endarray ight|left( fd_f3f + fd_f2f + fd_f1 ight)\ = (x + y + z)left| eginarray*20c 1&1&1\ 2y&y - z - x&2y\ 2z&2z&z - y - x endarray ight|\ = (x + y + z)left| eginarray*20c 1&0&0\ 2y& - (x + y + z)&0\ 2z&0& - (x + y + z) endarray ight|left( eginarrayl f - fc_f1f + fc_f2\ f - fc_f1f + fc_f3 endarray ight) = (x + y + z)^3. endarray>

Ví dụ 2:Tính định thức bằng cách biến đổi sơ cấp đem lại định thức của ma trận vuông cấp 3.

Giải. Ta bao gồm

< = 1.left( - 1 ight)^1 + 2left| eginarray*20c 5&6&13& - 1 \ - 1& - 9& - 16&1 \ 6& - 10& - 13&6 \ - 3& - 1&2&3 endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfc_mathbf1 ight)>

< = - left| eginarray*20c 5&6&13& - 1 \ 4& - 3& - 3&0 \ 36&26&65&0 \ 12&17&41&0 endarray ight|left( egingathered mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbf6mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 hfill \ mathbf3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 hfill \ endgathered ight)>

< = - left( - 1 ight).left( - 1 ight)^1 + 4left| eginarray*20c 4& - 3& - 3 \ 36&26&65 \ 12&17&41 endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfc_mathbf4 ight) = - 1032.>

Ví dụ 3:Bằng phép đổi khác sơ cấp mang về định thức của ma trận tam giác nhằm tính định thức của ma trận

Giải.Ta có

$eginarrayc det (A) = left| eginarray*20c 0&1&1&1&1&1\ 1&0&1&1&1&1\ 1&1&0&1&1&1\ 1&1&1&0&1&1\ 1&1&1&1&0&1\ 1&1&1&1&1&0 endarray ight| = left| eginarray*20c 5&5&5&5&5&5\ 1&0&1&1&1&1\ 1&1&0&1&1&1\ 1&1&1&0&1&1\ 1&1&1&1&0&1\ 1&1&1&1&1&0 endarray ight|left( sumlimits_fi = 2^f6 fd_fi f + fd_f1 ight)\ = 5left| eginarray*20c 1&1&1&1&1&1\ 1&0&1&1&1&1\ 1&1&0&1&1&1\ 1&1&1&0&1&1\ 1&1&1&1&0&1\ 1&1&1&1&1&0 endarray ight| = 5left| eginarray*20c 1&1&1&1&1&1\ 0& - 1&0&0&0&0\ 0&0& - 1&0&0&0\ 0&0&0& - 1&0&0\ 0&0&0&0& - 1&0\ 0&0&0&0&0& - 1 endarray ight|left( f - fd_f1f + fd_fif,i = 2,...,6 ight) = - 5. endarray$

Ví dụ 4:Tính định thức của ma trận bởi phép biến đổi đưa về định thức của ma trận vuông cấp 2, từ kia $m$ để ma trận đã đến không suy biến.

Xem thêm:
Giờ Phối Hợp Quốc Tế - Cách Đổi Giờ Utc Sang Giờ Việt Nam

Giải.Có biến hóa định thức:

<egingathered det (A) = left| eginarray*20c 1&2& - 1&0 \ 2&1&0&3 \ 3&m& - 5& - 3 \ 3&3& - 1&1 endarray ight| = left| eginarray*20c 1&2& - 1&0 \ - 7& - 8&3&0 \ 12&m + 9& - 8&0 \ 3&3& - 1&1 endarray ight|left( egingathered mathbf - 3mathbfd_mathbf4mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbf3mathbfd_mathbf4mathbf + mathbfd_mathbf3 hfill \ endgathered ight) \ = left| eginarray*20c 1&2& - 1 \ - 7& - 8&3 \ 12&m + 9& - 8 endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfc_mathbf4 ight) = left| eginarray*20c 1&0&0 \ - 7&6& - 4 \ 12&m - 15&4 endarray ight|left( egingathered mathbf - 2mathbfc_mathbf1mathbf + mathbfc_mathbf2 hfill \ mathbfc_mathbf1mathbf + mathbfc_mathbf3 hfill \ endgathered ight) \ = left| eginarray*20c 6& - 4 \ m - 15&4 endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfd_mathbf1 ight) = 24 + 4(m - 15) = 4m - 36. \ endgathered >

Vậy ma trận đã mang lại không suy biến hóa khi còn chỉ khi $det (A) e 0Leftrightarrow 4m-36 e 0Leftrightarrow m e 9.$

Ví dụ 5:Giải phương trình $left| eginarray*20c 1&x&x + 1& - x\ x&2&x - 1&x + 1\ 2&2 + x&2x&1\ 3& - x&1&x endarray ight| = 0.$

Giải.Ta có

$eginarrayc left| eginarray*20c 1&x&x + 1& - x\ x&2&x - 1&x + 1\ 2&2 + x&2x&1\ 3& - x&1&x endarray ight| = left| eginarray*20c 1&x&x + 1& - x\ x + 1&x + 2&2x&1\ 2&2 + x&2x&1\ 4&0&x + 2&0 endarray ight|eginarray*20c d_1 + d_2\ d_1 + d_4 endarray\ = left| eginarray*20c 1&x&x + 1& - x\ x + 1&x + 2&2x&1\ 1 - x&0&0&0\ 4&0&x + 2&0 endarray ight|eginarray*20c - d_2 + d_3 endarray\ = (1 - x)left| eginarray*20c x&x + 1& - x\ x + 2&2x&1\ 0&x + 2&0 endarray ight| = (x - 1)x(x + 2)(x + 3). endarray$

Vậy $(x-1)x(x+2)(x+3)=0Leftrightarrow x=0;x=1;x=-2;x=-3.$

Ví dụ 6:Tính định thức$left| eginarray*20c 1&n&n&...&n\ n&2&n&...&n\ n&n&3&...&n\ ...&...&...&...&...\ n&n&n&...&n endarray ight|.$

Giải.Biến thay đổi định thức theo loại và dùng công thức khai triển ta có

<eginarrayc left| eginarray*20c 1&n&n&...&n\ n&2&n&...&n\ n&n&3&...&n\ ...&...&...&...&...\ n&n&n&...&n endarray ight| = left| eginarray*20c 1&n&n&...&n\ n - 1& - n + 2&0&...&0\ n - 1&0& - n + 3&...&0\ ...&...&...&...&...\ n - 1&0&0&...&0 endarray ight|left( f - fd_f1f + fd_fif,i = 2,3,...,n ight)\ = n( - 1)^n + 1left| eginarray*20c n - 1& - n + 2&0&...&0\ n - 1&0& - n + 3&...&0\ ...&...&...&...&...\ n - 1&0&0&...& - 1\ n - 1&0&0&...&0 endarray ight|left( fkhai\_trien\_cot\_n ight)\ = - n(n - 1)left| eginarray*20c - n + 2&0&...&0\ 0& - n + 3&...&0\ ...&...&...&...\ 0&0&0& - 1 endarray ight|left( fkhai\_trien\_dong\_n - 1 ight)\ = - n(n - 1)( - 1)( - 2)...( - n + 2) = ( - 1)^n - 1n! endarray>

Ví dụ 7:Tính định thức

Giải.Có thay đổi định thức:

<egingathered left| eginarray*20c a&b&c&d \ b&c&d&a \ c&d&a&b \ d&a&b&c endarray ight| = left| eginarray*20c a + b + c + d&a + b + c + d&a + b + c + d&a + b + c + d \ b&c&d&a \ c&d&a&b \ d&a&b&c endarray ight|left( mathbfd_mathbf4mathbf + mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf1 ight) \ = (a + b + c + d)left| eginarray*20c 1&1&1&1 \ b&c&d&a \ c&d&a&b \ d&a&b&c endarray ight| = (a + b + c + d)left| eginarray*20c 1&1&1&0 \ b&c&d&a - b + c - d \ c&d&a& - a + b - c + d \ d&a&b&a - b + c - d endarray ight|left( mathbf - mathbfc_mathbf1mathbf + mathbfc_mathbf2mathbf - mathbfc_mathbf3mathbf + mathbfc_mathbf4 ight) \ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)left| eginarray*20c 1&1&1&0 \ b&c&d&1 \ c&d&a& - 1 \ d&a&b&1 endarray ight| \ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)left| eginarray*20c 1&1&1&0 \ b + c&c + d&a + d&0 \ c&d&a& - 1 \ c + d&a + d&a + b&0 endarray ight|left( egingathered mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf4 hfill \ endgathered ight) \ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)left| eginarray*20c 1&1&1 \ b + c&c + d&a + d \ c + d&a + d&a + b endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_mathbfc_mathbf4 ight) \ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)left| eginarray*20c 1&0&0 \ b + c&d - b&a + d - b - c \ c + d&a - c&a + b - c - d endarray ight|left( egingathered mathbf - mathbfc_mathbf1mathbf + mathbfc_mathbf2 hfill \ mathbf - mathbfc_mathbf1mathbf + mathbfc_mathbf3 hfill \ endgathered ight) \ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)left| eginarray*20c d - b&a + d - b - c \ a - c&a + b - c - d endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_mathbfd_mathbf1 ight) \ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)left( (d - b)(a + b - c - d) - (a - c)(a + d - b - c) ight) \ = - (a + b + c + d)(a - b + c - d)left( (a - c)^2 + (b - d)^2 ight) \ endgathered >

Ví dụ 8: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + công nhân + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Ví dụ 9:Chứng minh rằng ma trận $X = left( eginarray*20c 0&dfrac1a&dfrac1a^2&dfrac1a^3&dfrac1a^4\ a&0&dfrac1a&dfrac1a^2&dfrac1a^3\ a^2&a&0&dfrac1a&dfrac1a^2\ a^3&a^2&a&0&dfrac1a\ a^4&a^3&a^2&a&0 endarray ight),a e 0$ bao gồm định thức không phụ nằm trong vào $a.$

Giải.Ta có:

$eginarrayc det (X) = left| eginarray*20c 0&dfrac1a&dfrac1a^2&dfrac1a^3&dfrac1a^4\ a&0&dfrac1a&dfrac1a^2&dfrac1a^3\ a^2&a&0&dfrac1a&dfrac1a^2\ a^3&a^2&a&0&dfrac1a\ a^4&a^3&a^2&a&0 endarray ight| = dfrac1a^4.dfrac1a^3.dfrac1a^2.dfrac1aleft| eginarray*20c 0&a^3&a^2&a&1\ a^4&0&a^2&a&1\ a^4&a^3&0&a&1\ a^4&a^3&a^2&0&1\ a^4&a^3&a^2&a&0 endarray ight|\ = dfrac1a^10left| eginarray*20c 0&a^3&a^2&a&1\ a^4& - a^3&0&0&0\ a^4&0& - a^2&0&0\ a^4&0&0&a&0\ a^4&a^3&a^2&a&0 endarray ight|eginarray*20c - d_1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = dfrac1a^10left| eginarray*20c a^4& - a^3&0&0\ a^4&0& - a^2&0\ a^4&0&0&a\ a^4&a^3&a^2&a endarray ight|\ = dfrac1a^10.a^4.a^3.a^2.aleft| eginarray*20c 1& - 1&0&0\ 1&0& - 1&0\ 1&0&0&1\ 1&1&1&0 endarray ight| = left| eginarray*20c 1& - 1&0&0\ 1&0& - 1&0\ 1&0&0&1\ 1&1&1&1 endarray ight| = - 2. endarray$

Ví dụ 10:Tính định thức

Giải.Ta có chuyển đổi định thức:

$egingathered left| eginarray*20c 0&x&x&...&x \ x&0&x&...&x \ x&x&0&...&x \ ...&...&...&...&... \ x&x&x&...&0 endarray ight|. = left| eginarray*20c (n - 1)x&x&...&x \ (n - 1)x&0&...&x \ ...&...&...&... \ (n - 1)x&x&...&0 endarray ight|left( mathbfc_mathbfnmathbf + mathbfc_mathbfn - 1mathbf + ... + mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbf1 ight) \ = (n - 1)xleft| eginarray*20c 1&x&...&x \ 1&0&...&x \ ...&...&...&... \ 1&x&...&0 endarray ight| \ = (n - 1)xleft| eginarray*20c 1&x&...&x \ 0& - x&...&x \ ...&...&...&... \ 0&0&...& - x endarray ight|left( mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbfi ight) = (n - 1)x.( - x)^n - 1. \ endgathered $

Ví dụ 11:Tính định thức$mathbfd_mathbfn = left| eginarray*20c 1&a&0&...&0 \ 1&1 + a&a&...&0 \ 0&1&1 + a&...&0 \ ...&...&...&...&... \ 0&0&0&...&1 + a endarray ight|.$

Giải.

<egingathered mathbfd_mathbfn = left| eginarray*20c 1&a&0&...&0 \ 1&1 + a&a&...&0 \ 0&1&1 + a&...&0 \ ...&...&...&...&... \ 0&0&0&...&1 + a endarray ight| = left| eginarray*20c 1&a&0&...&0 \ 0&1&a&...&0 \ 0&1&1 + a&...&0 \ ...&...&...&...&... \ 0&0&0&...&1 + a endarray ight|left( mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 ight) \ = left| eginarray*20c 1&a&...&0 \ 1&1 + a&...&0 \ ...&...&...&... \ 0&0&...&1 + a endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_cot\_1 ight)mathbf = mathbfd_mathbfn - 1mathbf = ... = mathbfd_mathbf1mathbf = 1. \ endgathered >

Ví dụ 12: Tính định thức $left| eginarray*20c 1 + a&1&1&1 \ 1&1 + b&1&1 \ 1&1&1 + c&1 \ 1&1&1&1 + d endarray ight|.$

Giải.Ta gồm

< = - left| eginarray*20c - a& - a& - a - d - ad \ b&0& - d \ 0&c& - d endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfc_mathbf1 ight)>

< = aleft| eginarray*20c 0& - d \ c& - d endarray ight| + bleft| eginarray*20c - a& - a - d - ad \ c& - d endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfc_mathbf1 ight)>

< = acd + bleft( ad + cleft( a + d + ad ight) ight) = abcd + abc + bcd + dca.>

Ví dụ 13:Tính định thức

Giải.Ta có

< = 2024left| eginarray*20c 1&2&3&...&2022&1 \ 2&1&2&...&2021&1 \ 3&2&1&...&2020&1 \ 4&3&2&...&2019&1 \ ...&...&...&...&...&... \ 2023&2022&2021&...&2&1 endarray ight| = 2024left| eginarray*20c 1&2&3&...&2022&1 \ 1& - 1& - 1&...& - 1&0 \ 1&1& - 1&...& - 1&0 \ 1&1&1&...& - 1&0 \ ...&...&...&...&...&... \ 1&1&1&...&1&0 endarray ight|left( mathbf - mathbfd_mathbfimathbf + mathbfd_mathbfi + 1 ight)>

< = 2024left| eginarray*20c 1& - 1& - 1&...& - 1 \ 1&1& - 1&...& - 1 \ 1&1&1&...& - 1 \ ...&...&...&...&... \ 1&1&1&...&1 endarray ight|left( mathbfkhai\_trien\_theo\_mathbfc_mathbf2023 ight)>

< = 2024left| eginarray*20c 2&0&0&...&0 \ 2&2&0&...&0 \ 2&2&2&...&0 \ ...&...&...&...&... \ 1&1&1&...&1 endarray ight|left( mathbfd_mathbf2022mathbf + mathbfd_mathbfi ight) = 2024.2^2021.>

Ví dụ 14:Cho những số thực $a,b,c,d$ khác $-1$ hợp ý Tính định thức

Giải.Ta có

Sau đó khai triển theo cột 1 ta có

< + left( a + 1 ight)left| eginarray*20c b&c&d \ - b - 1&0&0 \ 0&0& - d - 1 endarray ight| - left( a + 1 ight)left| eginarray*20c b&c&d \ - b - 1&0&0 \ 0& - c - 1&0 endarray ight|>

<=left( b+1 ight)left( c+1 ight)left( d+1 ight)-left( a+1 ight)bleft( c+1 ight)left( d+1 ight)-left( a+1 ight)cleft( b+1 ight)left( d+1 ight)-left( a+1 ight)dleft( b+1 ight)left( c+1 ight)>

<=left( a+1 ight)left( b+1 ight)left( c+1 ight)left( d+1 ight)left< dfrac1a+1-dfracbb+1-dfraccc+1-dfracdd+1 ight>>

<=left( a+1 ight)left( b+1 ight)left( c+1 ight)left( d+1 ight)left< dfrac1a+1+dfrac1b+1+dfrac1c+1+dfrac1d+1-3 ight>Rightarrow D=0.>

Ví dụ 15:Cho các số thực $alpha ,eta $ cùng số nguyên $nge 4.$ Tính định thức của ma trận $A=left( a_ij ight)_n imes n$ với $a_ij=i^2+j^2+alpha ij+eta ,forall i,j=1,2,...,n.$

GiảiTa bao gồm $a_ij-a_i-1,j=left( i^2+j^2+alpha ij+eta ight)-left( left( i-1 ight)^2+j^2+alpha left( i-1 ight)j+eta ight)=2i+alpha j-1,forall i=2,...,n;j=1,2,...,n$

Do đó thực hiện lấy $-d_i-1+d_i,i=2,...,n$ ta được $det left( A ight)=det left( B ight)$ cùng với $B = left( eginarray*20c a_11&a_12&...&a_1n \ b_21&b_22&...&b_2n \ ...&...&...&... \ b_n1&b_n2&...&b_nn endarray ight),b_ij = 2i + alpha j - 1,forall i = 2,...,n;j = 1,2,...,n$

Ta gồm $b_ij-b_i-1,j=left( 2i+alpha j-1 ight)-left( 2left( i-1 ight)+alpha j-1 ight)=2,forall i=3,...,n;j=1,2,...,n$

Do đó thực hiện lấy $-d_i-1+d_i,i=3,...,n$ ta được $det left( A ight) = det left( B ight) = left| eginarray*20c a_11&a_12&...&a_1n \ b_21&b_22&...&b_2n \ 2&2&...&2 \ ...&...&...&... \ 2&2&2&2 endarray ight| = 0.$

Các phương pháp khác được liệt kê sau đây bạn đọc nhấp vào để xem đưa ra tiết

Tính định thức ma trận dựa trên xây dựng hàng số tốt quy nạp

Ví dụ 1:Tính định thức $d_n = left| eginarray*20c 5&3&0&...&0&0 \ 2&5&3&...&0&0 \ 0&2&5&...&0&0 \ ...&...&...&...&...&... \ 0&0&0&...&5&3 \ 0&0&0&...&2&5 endarray ight|.$

Giải.Khai triển theo cái 1 gồm $d_n=5d_n-1-6d_n-2,d_1=5,d_2=19Rightarrow d_n=3^n+1-2^n+1.$

Đưa về định thức của ma trận tích

Ví dụ 1:Tính định thức $left| eginarray*20c 2 + x_1y_1&2 + x_1y_2&2 + x_1y_3&2 + x_1y_4&2 + x_1y_5 \ 2 + x_2y_1&2 + x_2y_2&2 + x_2y_3&2 + x_2y_4&2 + x_2y_5 \ 2 + x_3y_1&2 + x_3y_2&2 + x_3y_3&2 + x_3y_4&2 + x_3y_5 \ 2 + x_4y_1&2 + x_4y_2&2 + x_4y_3&2 + x_4y_4&2 + x_4y_5 \ 2 + x_5y_1&2 + x_5y_2&2 + x_5y_3&2 + x_5y_4&2 + x_5y_5 endarray ight|.$

Ta gồm phân tích ma trận sẽ cho các thành tích của nhì ma trận:

< = left( eginarray*20c 2&x_1&0&0&0 \ 2&x_2&0&0&0 \ 2&x_3&0&0&0 \ 2&x_4&0&0&0 \ 2&x_5&0&0&0 endarray ight)left( eginarray*20c 1&1&1&1&1 \ y_1&y_2&y_3&y_4&y_5 \ 0&0&0&0&0 \ 0&0&0&0&0 \ 0&0&0&0&0 endarray ight).>

Lấy định thức hai vế bao gồm ngay $left| eginarray*20c 2 + x_1y_1&2 + x_1y_2&2 + x_1y_3&2 + x_1y_4&2 + x_1y_5 \ 2 + x_2y_1&2 + x_2y_2&2 + x_2y_3&2 + x_2y_4&2 + x_2y_5 \ 2 + x_3y_1&2 + x_3y_2&2 + x_3y_3&2 + x_3y_4&2 + x_3y_5 \ 2 + x_4y_1&2 + x_4y_2&2 + x_4y_3&2 + x_4y_4&2 + x_4y_5 \ 2 + x_5y_1&2 + x_5y_2&2 + x_5y_3&2 + x_5y_4&2 + x_5y_5 endarray ight| = 0.$

Ví dụ 2:Cho biết $left| eginarray*20c 1&x_1&x_1^2&...&x_1^n - 1 \ 1&x_2&x_2^2&...&x_2^n - 1 \ 1&x_3&x_3^2&...&x_3^n - 1 \ ...&...&...&...&... \ 1&x_n&x_n^2&...&x_n^n - 1 endarray ight| = prodlimits_{1 leqslant i

Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và kiến thức và phương thức giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng từ luận tất cả lời giải cụ thể tại website sẽ giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn rằng kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong các trường kinh tế.

Xem thêm: Mẫu Bản Kiểm Điểm Đảng Viên Cuối Năm Và Cách Viết, Bản Kiểm Điểm Đảng Viên Năm 2017

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH yêu thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH tài chính ĐH nước nhà Hà Nội

và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH không giống trên mọi cả nước...