Hệ Phương Trình Đẳng Cấp Bậc 2

     

Hệ phương trình quý phái là một dạng hệ phương trình thường gặp mặt trong chương trình Toán 9 với Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp là gì? quan niệm về hệ phương trình đẳng cấp bậc 2? giải pháp giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Trong nội dung nội dung bài viết dưới đây, giangdien.com.vn để giúp bạn tổng hợp kỹ năng về chủ đề này nhé!




Bạn đang xem: Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là hệ tất cả ( 2 ) phương trình ( 2 ) ẩn cơ mà ở mỗi phương trình thì bậc của mỗi ẩn là bẳng nhau :


(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) cùng với ( f,g ) là các hàm số có bậc của hai trở nên ( x;y ) bởi nhau

Ví dụ:

(left{eginmatrix x^2+3xy-2y^2=3\ x^2-xy+y^2=4 endmatrix ight.)

Ở lấy ví dụ trên thì đó là hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc ( 2 )

*

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài toán: Giải phương trình

(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) cùng với ( f,g ) là các hàm số tất cả bậc của hai thay đổi ( x;y ) bởi nhau

Nhìn tầm thường để giải phương trình đẳng cấp và sang trọng thì họ tiến hành các bước sau đây:

Bước 1: Nhân phương trình trên với ( a_2 ) với phương trình bên dưới với ( a_1 ) rồi trừ nhị phương trình để gia công mất hệ số tự doBước 2: Đặt ( x=ky ). Nắm vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình bao gồm dạng :( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 )Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường phù hợp (left<eginarrayl y=0\y eq 0 endarray ight.). Cùng với trường thích hợp ( y eq 0 ) thì giải ra ( k )Bước 4: nắm ( x=ky ) vào một trong những trong hai phương trình, giải ra ( y ) rồi từ đó giải ra ( x )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ x^2-2xy+y^2=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Phương trình đã cho tương tự với :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ 3x^2-6xy+3y^2=3 endmatrix ight.)

Trừ hai vế nhì phương trình ta được :

( 2x^2+4y^2-6xy =0 )

Đặt ( x=ky ). Nuốm vào phương trình bên trên ta được :

( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 )

(Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 ;;;;; (1) )

Trường vừa lòng ( y=0 )

Thay vào hệ ta được:

(left{eginmatrix x^2=3\ x^2=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )

Trường hợp ( y eq 0 )

Từ phương trình ( (1) Rightarrow k^2+3k-2 =0 )

 (Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\ k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) rứa vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 0=3\0=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( các loại )

Nếu ( k=2 ) thay vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 3y^2=3\y^2=1 endmatrix ight. Leftrightarrow y^2=1 Leftrightarrow y=pm 1)

Vậy hệ phương trình đã cho tất cả hai cặp nghiệm là ( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) )

Giải hệ phương trình sang trọng bậc 2 

Hệ phương trình phong cách bậc ( 2 ) là hệ phương trình có dạng :

(left{eginmatrix a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 endmatrix ight.)

Đây là dạng toán thường chạm mặt trong phần hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài này thì xung quanh cách bên trên ta rất có thể sử dụng một cách khác ví như sau :

Bước 1: Từ nhì phương trình, nhân hệ số tương thích để thông số của ( x^2 ) ở nhị phương trình là bằng nhau:Bước 2: Trừ hai vế của nhì phương trình, ta được phương trình dạng :( Ay^2+Bxy=C )(Rightarrow x=fracC-Ay^2By)Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình rồi giải tìm thấy ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ x^2+xy-3y^2=3 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ 2x^2+2xy-6y^2=6 endmatrix ight.)

Trừ nhì vế nhị phương trình ta được :

( 5y^2-3xy =2 )

Nếu ( y=0 ) cụ vào hệ phương trình đã mang lại ta được:

(left{eginmatrix 2x^2=8\x^2=3 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )

Nếu ( y eq 0 ) thì ta có:

(x= frac5y^2-23y)

Thay vào phương trình đầu tiên ta được:

(2.(frac5y^2-23y)^2-y.frac5y^2-23y-y^2=8)

(Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2)

(Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0)

(Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl y^2=4\y^2=frac113 endarray ight.)

Thay vào ta được : hệ phương trình sẽ cho có ( 4 ) cặp nghiệm :

((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-frac1112197;frac113);(frac1112197;-frac113))

Hệ phương trình quý phái lớp 10 

Trong lịch trình toán 10 thì vấn đề hệ phương trình sẽ nâng cấp hơn, yên cầu học sinh cần phải có thêm một vài ba kĩ năng đổi khác để xử lý.

Dạng bài biến hóa hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp

Trong những việc này, hệ phương trình lúc đầu bài toán giới thiệu sẽ không hẳn là những phương trình đẳng cấp.

Xem thêm: Tổng Hợp Đề Thi Đại Học Môn Toán Các Năm Gần Đây, Đề Thi Tốt Nghiệp Thpt Môn Toán 3 Năm Gần Đây



Xem thêm: Dùng Máy Hút Sữa Hoàn Toàn Có Mất Sữa Không ? Có Nên Hút Sữa Ra Bình Cho Con Bú

Nhưng bọn họ sẽ đổi thay đổi, để ẩn phụ để lấy hệ sẽ cho đổi mới hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2+2y=9\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 endmatrix ight.)

Cách giải:

Ta sẽ biến hóa để chuyển phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp

Phương trình đã cho tương đương với :

(left{eginmatrix x^2-(y^2-2y+1)=8\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-(y-1)^2=8\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 endmatrix ight.)

Đặt ( z=y+1 ), phương trình đang cho vươn lên là :

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-z^2=8\ x^2+xz+z^2=13 endmatrix ight. ;;;;; (1) )

Đây là phương trình sang trọng bậc ( 2 ) với nhì ẩn ( x;z )

Hệ phương trình trên tương tự với :

(Leftrightarrow left{eginmatrix 13x^2-13z^2=104\ 8x^2+8xz+8z^2=104 endmatrix ight.)

Trừ nhị vế của nhị phương trình ta được :

(5x^2-8xz-21z^2=0)

Đặt ( x=tz ). Cụ vào ta được :

( z^2(5t^2-8t-21) =0 )

Nếu ( z=0 ) cầm cố vào hệ ( (1) ) ta được :

(left{eginmatrix x^2=8\ x^2=13 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Nếu ( z eq 0 ) thì ta có :

( 5t^2-8t-21 =0 )

(Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl t=3\t=-frac57 endarray ight.)

Nếu ( t=3 ) , nuốm vào ta được :

(8z^2=8 Leftrightarrow z= pm 1)

(left<eginarrayl z=1 Rightarrow x=3; y=2\ z=-1 Rightarrow x=-3; y=0endarray ight.)

Nếu ( t=-frac57 ) cố kỉnh vào ta được :

(-frac2449z^2=8Leftrightarrow z^2=-frac493Rightarrow) vô lý ( loại )

Vậy hệ phương trình vẫn cho có hai cặp nghiệm là ( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) )

Dạng bài hệ phương trình bao gồm một phương trình đẳng cấp

Đây là hồ hết hệ phương trình mà trong số ấy có một phươn trình bao gồm dạng ( f(x;y) =0 ) cùng với ( f ) là phương trình hai ẩn ( x;y ) có bậc bởi nhau

Để giải việc này thì tự phương trình đẳng cấp và sang trọng đó, họ đặt ( x=ky ), giải ra ( k ) rồi nắm vào phương trình trang bị hai, tìm ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x^2-3xy+2y^2=0\ sqrt5x-y-x=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( y leq 5x )

Dễ thấy ví như ( y=0 ) thì hệ phương trình đã mang đến vô nghiệm. Vậy ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ). Nuốm vào phương trình đầu tiên ta được :

( y^2(k^2-3k+2) =0 )

Do ( y eq 0 ) bắt buộc (Rightarrow k^2-3k+2=0)

(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) vậy vào phương trình bên dưới ta được :

(2y-y=1Leftrightarrow y=1) với ( x=1 )

Nếu ( k=2 ) chũm vào phương trình dưới ta được :

(3y-2y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=2 )

Vậy phương trình sẽ cho tất cả hai cặp nghiệm ( (x;y) = (1;1) ; (2;1) )

Dạng bài xích hệ phương trình có tích nhị vế đẳng cấp

Đây là những hệ phương trình bao gồm dạng:

(left{eginmatrix f_1(x;y)=f_2(x;y)\g_1(x;y)=g_2(x;y) endmatrix ight.) với ( f_1;f_2;g_1;g_2 ) là những hàm số quý phái thỏa mãn:

Bậc của ( f_1.g_1 ) bằng bậc của ( f_2.g_2 )

Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ và để được một phương trình đẳng cấp:

( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) )

Đến trên đây ta để ( x=ky ), gắng vào giải ra ( k ). Tiếp nối thay ( k ) vào hệ phương trình thuở đầu giải ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3-2x-y=0 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình đang cho tương đương với :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3=2x+y endmatrix ight.)

Nhân chéo cánh hai vế của hệ phương trình ta được :

( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) )

(Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0)

Dễ thấy giả dụ ( y=0 ) thì hệ đã đến vô nghiệm. Vậy đề nghị ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ) . Cố vào phương trình bên trên ta được :

( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 )

Do ( y eq 0 ) đề xuất ( k^3-3k^2-3k+5=0 )

(Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 Leftrightarrow left<eginarraylk=1 \ k=1-sqrt6\ k=1+sqrt6endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) cố kỉnh vào ta được:

(3y^2=3 Leftrightarrow y^2=1 Rightarrow x=y=1) hoặc ( x=y=-1 )

Nếu ( k=1-sqrt6 ) núm vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt2+sqrt3=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt2+sqrt3sqrt3)

Vậy ta có hai cặp nghiệm :

((x;y)= (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6))

Nếu ( k=1+sqrt6 ) cố kỉnh vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt3-sqrt2=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt3-sqrt2sqrt3)

Vậy ta tất cả hai cặp nghiệm:

((x;y)= (frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6))

Vậy phương trình sẽ cho gồm 6 cặp nghiệm thỏa mãn:

( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6);(frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6) )

Bài viết trên phía trên của giangdien.com.vn đã giúp đỡ bạn tổng hợp định hướng và các phương thức giải hệ phương trình đẳng cấp. Hi vọng những kiến thức và kỹ năng trong bài viết sẽ góp ích cho chính mình trong quá trình học tập và phân tích chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn luôn học tốt!.

Tu khoa lien quan:

giải phương trình phong cách lớp 9phương trình sang trọng bậc 2 lớp 10dấu hiệu nhận ra hệ phương trình đẳng cấp