Chuyên Đề Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Biểu Thức

     

Tìm giá bán tị lớn số 1 (GTLN) cùng giá trị bé dại nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức đựng dấu quý giá tuyệt đối,...) là trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và yên cầu kiến thức áp dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bạn đang xem: Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức


Bài viết này sẽ chia sẻ với những em một vài cách tìm giá trị lớn số 1 (GTLN, Max) và giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số cất dấu căn, đựng dấu cực hiếm tuyệt đối,...) qua một trong những bài tập minh họa thế thể.

° Cách tìm giá chỉ trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến chuyển số)

- mong tìm giá bán trị lớn nhất hay giá bán trị nhỏ tuổi nhất của một biểu thức ta bao gồm thể đổi khác biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* ví dụ như 1: cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Search GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- vày (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bởi xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* lấy ví dụ như 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tra cứu GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- vày (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

Xem thêm: Đại Học Ngoại Ngữ Đà Nẵng Học Phí, Học Phí Đại Học Ngoại Ngữ

* ví dụ 3: Cho biểu thức: 

*

- tìm x nhằm Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá chỉ trị nhỏ nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 yêu cầu (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi còn chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá chỉ trị khủng nhất, giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 vươn lên là số)

- cũng như như giải pháp tìm ở phương thức trên, vận dụng đặc điểm của biểu thức ko âm như:

 

*
 hoặc 
*

- vệt "=" xảy ra khi A = 0.

* lấy ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* lấy ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* lấy ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá chỉ trị lớn số 1 thì 

*
 đạt giá trị bé dại nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xẩy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 lúc x = 1/4.

° Cách tìm giá bán trị mập nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức đựng dấu quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở nên số)

- vấn đề này cũng chủ yếu nhờ vào tính không âm của trị xuất xắc đối.

* lấy một ví dụ 1: kiếm tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* lấy ví dụ như 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những bài toán trên dựa vào các đổi khác về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị hay đối,...) cùng hằng số nhằm tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều việc phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang đến hai số a, b không âm: 

*
 (Dấu "=" xẩy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức đựng dấu quý giá tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xảy ra khi và chỉ còn khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

Xem thêm: Soạn Bài Sóng Xuân Quỳnh Violet, Ôn Tập Phần Văn Học Lớp 10 Violet

* ví dụ như 1: Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- vị a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn call là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).