Bài Tập Cực Trị Hàm Nhiều Biến Có Lời Giải

     
◕ Lời nhắn:⊱ Mình học Bách Khoa yêu cầu ai đó ghét Bách Khoa thì rất có thể lặng lẽ đi ra⊱ mình là dân Thanh Hóa đề xuất ai đó ghét Thanh Hóa cũng có thể lặng lẽ tách đi⊱ Mình học cơ khí, trang này chỉ làm nên theo sở thích nên trường hợp thấy không hài lòng có thể nhẹ nhàng tắt trang⊱ Mình lúc này có những câu hỏi riêng cần bận cho cuộc sống thường ngày của mình, sẽ không thể thường xuyên hồi đáp các bình luận, ước ao được lượng thứ..


Bạn đang xem: Bài tập cực trị hàm nhiều biến có lời giải

*



Xem thêm: Cách Tính Bmr Để Giảm Cân Hay Giảm Cân Hợp Lý, Chỉ Số Bmr Là Gì

◕ Dịch vụ: Nhận xây cất Form mẫu Excel, Google Sheet:⊱ cung ứng quản lý, chiết xuất dữ liệu; tạo bảng báo cáo, thống kê lại nhanh; ⊱ tạo thành hệ thống tùy chỉnh và thống trị tiến độ công việc một bí quyết trực quan; chế tạo ra bảng nhập liệu, tính toán cung ứng công việc..◕ sử dụng thử: Chương trình phần mềm xếp thép tối ưu⊱ Đây là công tác mình viết ra nhằm hỗ trợ các bước tính toán nguồn vào vật bốn thép bề ngoài thanh (L, H, U, ...)(Nhắn tin thẳng tới fanpage giangdien.com.vn nhằm trao đổi)


Xem thêm: Điểm Chuẩn Đại Học Kiến Trúc 2015, Điểm Chuẩn Đại Học Kiến Trúc Tphcm 2015, Kts

✪ Định nghĩa : $M_0(x_0;y_0)$ là điểm cực trị của hàm $z=f(x;y)$ Nếu với mọi điểm $M(x_0 + Delta x;y_0 + Delta y)$ là ở bên cạnh của $M_0(x_0;y_0)$ thì ta luôn luôn có : $Delta f = f(x_0;y_0) - M(x_0 + Delta x;y_0 + Delta y)$ không đổi dấu, cùng với : $$left< matrixDelta f ge 0 Rightarrow matrixM_0&là&điểm&cực&đại\Delta f le 0 Rightarrow matrixM_0&là&điểm&cực&tiểu ight.$$ (M là ở kề bên của $M_0$ khi $Delta x$,$Delta y$ khá nhỏ). ✪ luật lệ tìm rất trị: Giả sử hàm số $z=f(x;y)$ có các đạo hàm riêng biệt đến cấp 2 liên tiếp trong kề bên của trạm dừng $(M_0(x_0;y_0)$ Đặt $matrixA = z""_xx&;&B = z""_xy&;&C = z""_yy$ lúc đó: $$left< matrixleft matrixB^2 - AC 0&( mor&C > 0) ight. Rightarrow matrixM_0&là&điểm&cực&tiểu\left{ matrixB^2 - AC 0 Rightarrow matrixHàm&không&đạt&cực&trị&tại&M_0\B^2 - AC = 0 Rightarrow matrixDùng&định&nghĩa&để&xác&định ight.$$✪ các bước làm bài xích :●Bước 1 :Giải hệ phương trình $$left{ matrixz"_x = 0\z"_y = 0 ight. Rightarrow matrixTìm&được&nghiệm&(x_1;y_1)&(x_2;y_2)&...&(x_n;y_n)$$●Bước 2 :Tìm những đạo hàm cấp 2. $$left{ matrixA = z""_xx\B = z""_xy\C = z""_yy ight.$$●Bước 3 :Xét những điểm nghiệm $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$,...,$(x_n;y_n)$ nhằm tính A, B, C và xem nó thuộc trường phù hợp nào nhằm tính với kết luận ✪Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm số $z = 2x^4 + y^4 - 4x^2 + 2y^2$ (Bài 7-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59) bài làm: ● Ta tất cả : $$left{ matrixz"_x = 8x^3 - 8x = 0\z"_y = 4y^3 + 4y = 0 ight. Leftrightarrow left< matrix{left{ matrixx = - 1\y = 0 ight.\left{ matrixx = 0\y = 0 ight.\left matrixx = 1\y = 0 ight. ight.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ $M_1( - 1;0),M_2(0;0),M_3(1;0)$ ● Đặt : $$matrixA = z""_xx = 24x^2 - 8\B = z""_xy = 0\C = z""_yy = 12y^2 + 4$$ ● Xét các điểm nghi ngờ _Tại $M_1( - 1;0)$ : $$matrix{matrixA = 16,&B = 0,&C = 4\ Rightarrow left matrixB^2 - AC = - 64 0 ight.$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại $M_1( - 1;0) Rightarrow z_CT = z( - 1;0) = - 2$ _Tại $M_2(0;0)$ : $$matrixmatrixA = - 8,&B = 0,&C = 4\ Rightarrow B^2 - AC = 32 > 0$$ Suy ra hàm ko đạt rất trị trên $M_2(0;0)$ _Tại $M_3(1;0)$ : $$matrix{matrixA = 16,&B = 0,&C = 4\ Rightarrow left matrixB^2 - AC = - 64 0 ight.$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu trên $M_3(1;0) Rightarrow z_CT = z(1;0) = - 2$ ✪Ví dụ 2 : Tìm rất trị hàm số $$z = 2x^2 + 3y^2 - e^ - (x^2 + y^2)$$ (Bài 7-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59) bài làm: ● Ta bao gồm : $$left{ matrixz"_x = 4x + 2xe^ - (x^2 + y^2) = 0\z"_y = 6y + 2ye^ - (x^2 + y^2) = 0 ight. Leftrightarrow left{ matrixx = 0\y = 0 ight.$$ Suy ra có 1 điểm nghi ngờ $M_1(0;0)$ ● Đặt : $$left{ matrixA = z""_xx = 4 + 2e^ - (x^2 + y^2) - 4x^2e^ - (x^2 + y^2)\B = z""_xy = - 4xye^ - (x^2 + y^2)\C = z""_yy = 6 + 2e^ - (x^2 + y^2) - 4y^2e^ - (x^2 + y^2) ight.$$ ● Xét các điểm nghi ngại _Tại $M_1(0;0)$ : $$matrix{matrixA = 6,&B = 0,&C = 8\ Rightarrow left matrixB^2 - AC = - 48 0 ight.$$ Suy ra hàm đạt rất tiểu trên $M_1(0;0) Rightarrow z_CT = z(0;0) = - 1$ ✪Ví dụ 3 : Tìm cực trị hàm số $$z = x^3 - frac32y^4 - 3xy^2$$ (Bài 10-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60) bài làm: ● Ta tất cả : $$left{ matrixz"_x = 3x^2 - 3y^2 = 0\z"_y = -6y^3 - 6xy = 0 ight. Leftrightarrow left< matrix{left{ matrixx = 0\y = 0 ight.\left{ matrixx = -1\y = 1 ight.\left matrixx = -1\y = - 1 ight. ight.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngại $M_1(0;0)$, $M_2(-1;1)$, $M_3(-1;-1)$ ● Đặt : $$left{ matrixA = z""_xx = 6x\B = z""_xy = -6y\C = z""_yy = -18y^2 - 6x ight.$$ ● Xét các điểm nghi ngại _Tại $M_1(0;0)$ : $$matrixmatrixA = 0,&B = 0,&C = 0\ Rightarrow B^2 - AC = 0$$Suy ra ta buộc phải dùng định nghĩaGiả sử $N(0 + Delta x;0 + Delta y)$ là lân cân của $M_1(0;0)$ khi ấy : $$matrix{Delta z = z(0;0) - z(0 + Delta x;0 + Delta y) = z(0;0) - z(Delta x;Delta y)\ Leftrightarrow Delta z = - (Delta x)^3 + frac32(Delta y)^4 + 3(Delta x).(Delta y)^2\left matrixDelta x > 0,Delta y = 0matrix:&Delta z 0 ight.$$ $ Rightarrow Delta z$ sẽ đổi vệt trong sát bên $M_1(0;0)$ Suy ra hàm ko đạt cực trị trên $M_1(0;0).$ _Tại $M_2(-1;1)$ : $$matrix{matrixA = -6,&B = -6,&C = -12\ Rightarrow left{ matrix{B^2 - AC = -36_Tại $M_3(-1;-1)$ : $$matrix{matrixA = -6,&B = 6,&C = -12\ Rightarrow left{ matrix{B^2 - AC = -36